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Explorando el Universo de Mandelbrot
A. K. Dewdney
Explorando el Universo de Mandelbrot
Solos, por sí, ni el Arte ni la Ciencia:
manifieste tu obra la paciencia;
Recrea pausado el ánimo con calma
Pues nada, sino el tiempo, fortalece el
alma.

--JOHANN WOLFGANG VON GOETHE,
Fausto
 
arece como si el arte y la ciencia se combinasen en el Conjunto de Mandelbrot. Su complejidad asombrosa es exponente del activo campo de estudio en que se ha convertido el caos y la dinámica de los sistemas no lineales; y hasta personas que no tienen la menor idea de la importancia física del conjunto encuentran una extraña belleza en su sombrío interior y en su enjoyado halo. Como nos recuerda la inspirada cita de Goethe, hace falta verdadera paciencia cuando uno se dispone a generar una imagen del Conjunto de Mandelbrot. Aunque una computadora personal se encargue de efectuar los cálculos necesarios, a razón de miles de ellos por segundo, pueden ser necesarios varios minutos para que la computadora entregue una imagen terminada.

Explorando el Universo de Mandelbrot El Conjunto de Mandelbrot (así llamado en honor de su descubridor, Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, que tiene IBM en Yorktown Heights, Nueva York) consta de una infinidad no numerable de puntos. Las imágenes del presente artículo están construidas determinando qué puntos de una colección mucho más diminuta (apenas unos pocos millares de puntos) pertenecen al conjunto. Cada píxel, cada elemento de imagen de una figura, corresponde a un punto de la colección. Así pues, cada imagen representa una u otra parte del conjunto, amplificada y coloreada según los gustos de los cartógrafos de Mandelbrot. Es muy posible que, al observar las fotografías, los lectores se pregunten: ¿qué belleza infatigable late en el corazón del Conjunto de Mandelbrot? ¿Qué proceso crea estas formas tan extraordinarias, esta complejidad que cala en las profundidades mismas del infinito? La simplicidad de la respuesta choca frontalmente con la complejidad del conjunto.

Hay personas a quienes la explicación de que el Conjunto de Mandelbrot tiene que ver con "números complejos" las hace empalidecer y murmurar excusas sobre la necesidad urgente de irse a algún sitio. Por fortuna, resulta posible eludir por completo el tema de los números complejos. Invito a los lectores que se den por aludidos (y también a los demás) a acompañarme a un plano imaginario, donde tomaremos el "Mandelbrot Express" (ME), que nos llevará en un recorrido especial por el Conjunto o "Universo" de Mandelbrot.

Lo mismo que los puntos de la superficie terrestre, que pueden ser especificados por su longitud y latitud, también los puntos del plano tienen coordenadas. El punto (0,0), llamado "origen", yace en el centro del plano. De un toque de varita mágica convertiré al lector en un ser inimaginablemente diminuto situado en un punto cuyas coordenadas son (a,b). ¿De qué lugar exacto se trata? Pues de cualquier lugar donde el lector guste encontrarse. Pero una vez tomada la decisión, convendremos en que a y b tendrán valores específicos, tales como -0.43 y 2.78, en cuyo caso el lector se encontraría a 2.78 unidades al norte del origen y 0.43 unidades al este. ¿Cuánto mide una unidad? Poco importa que uno la considere de un kilómetro o de un metro. Después de todo, cualquier distancia parece enorme cuando uno tiene la pequeñez de un punto.

Ahora que el cooperante lector -pequeño y diminuto- se ha aposentado en un punto del plano, está listo para tomar el Mandelbrot Express. Pero antes de que llegue el bus, explicaré su ruta. El bus comienza su viaje en (0,0) y se dirige directamente a (a,b), a recoger al paciente lector, que habrá de hacer su viaje en solitario, pues el ME no recogerá más lectores en su zigzaguear de un punto a otro, en una sucesión infinita de paradas. Para ser específico, la ruta del ME está dada por una fórmula relativamente sencilla, que le dice al conductor cuál es el punto que ha de visitar seguidamente, tras detenerse en (x,y). Dicha fórmula es:
(x,y)2 + (a,b)
¿Qué significa esa fórmula? El término (x,y)2 no es más que una abreviatura del punto cuyas coordenadas son, respectivamente, x2 - y2 y 2xy. Sumarle (a,b) a (x,y)2 significa que hay que sumar a a la primera coordenada del cuadrado y b a la segunda. A riesgo de pecar de tedioso, las coordenadas resultantes de estas operaciones aritméticas son por consiguiente: (x2 - y2 + a, 2xy + b). ¿Dónde cae ese punto? Para determinarlo, se sustituyen en la fórmula las coordenadas x e y de la parada anterior, así como las coordenadas a y b de la primera parada.

El ME arranca siempre desde el origen. Desde allí sale disparado hacia el punto (a,b). Para ver que así es, el lector no tiene más que sustituir por 0 las variables x e y en la fórmula anterior. Todos los cuadrados y todos los productos de x e y se anulan, dejando sólo a y b como nuevos valores de las coordenadas. Para ver adónde se dirigirá seguidamente el ME, bastará sustituir las letras x e y por las coordenadas a y b. Al hacerlo, vemos que el segundo punto de detención es siempre (a2 - b2 + a, 2ab + b).

Explorando el Universo de Mandelbrot El viaje en el ME es un continuo vaivén, que nos deja los huesos hechos polvo. Para dar al lector cierta idea de cómo es, en la figura se muestra una vista aérea de dos posibles viajes. En uno de estos casos, el bus sale del origen, se detiene a recoger al lector y visita seguidamente una serie de puntos que parecen contraerse en espiral hacia el punto de partida. En el otro caso, el lector visita una serie de paradas que al principio están muy próximas, pero que gradualmente se van separando más y más, hasta emprender la senda conducente al infinito. No sería mala idea bajar en la primera parada si casualmente nos hallamos en ese viaje concreto.

Aunque los dos viajes sean de carácter diferente, de acuerdo con la fórmula cada uno de ellos estuvo totalmente determinado por la primera parada. En el primer caso, por ejemplo, el lector se sube al ME en (0.300, 0.100). Sustituyendo estos valores en la fórmula calculamos las coordenadas (0.380, 0.160) de la segunda parada. Para adquirir algo más de confianza en la mecánica de Mandelbrot no sería mala idea proveerse de una calculadora y calcular las coordenadas de la tercera parada, sustituyendo en la fórmula x por 0.380, y por 0.160, a por 0.300 y b por 0.100. Efectuados los cálculos, resulta (0.419, 0.222). Es esta sencilla serie de operaciones aritméticas la que suministra indefinidamente al Mandelbrot Express su fuerza motriz.

Aunque el viaje puede durar tanto cuanto estemos dispuestos a repetir el cálculo, la ruta que verdaderamente siga el ME puede ser acotada o no acotada. Ello significa que, o bien la sucesión de puntos de parada estará eternamente confinada en cierta zona situada en torno al origen (como en el primer caso), o acabará por escapar de cualquier recinto prefijado y se encaminará hacia el infinito (cual sucede en el segundo caso).

¿En qué consiste, pues, el Conjunto de Mandelbrot? Es, sencillamente, el conjunto de todos los puntos (a,b) que dan lugar a rutas o trayectorias acotadas del ME. Este conjunto determina un sólido continuo situado en medio del plano, pero envía filamentos que penetran en sus alrededores con formas sumamente sutiles y complicadas. Los programas de computadora que generan imágenes basadas en el Conjunto de Mandelbrot determinan el color de cada píxel de la pantalla estableciendo si el ME sale disparado hacia el infinito desde el punto (a,b) representado por el píxel y, en tal caso, con qué velocidad.

Algunos lectores se encontrarían más cómodos viajando por las rutas acotadas, que parten del interior del Conjunto de Mandelbrot; son viajeros a quienes la idea de un viaje al infinito les pone la carne de gallina. Sin embargo, la perspectiva de sólo poder realizar viajes acotados parece deprimir a los matemáticos. Tal vez resida ahí el motivo por el que colorean de negro el Conjunto de Mandelbrot.
Explorando el Universo de Mandelbrot
Vista "aérea" del Conjunto de Mandelbrot. A los puntos del plano que pertenecen a este conjunto, se les asigna por lo general el color negro. Las formas fractales aparecen en la frontera del Conjunto de Mandelbrot.
Es teorema demostrado (y por consiguiente, innegablemente cierto) que si el ME llega alguna vez hasta un punto situado a dos o más unidades del origen, su destino es inexorablemente el infinito. En tal caso, su primera parada (a,b) yace en el exterior del Conjunto de Mandelbrot. Pero, ¿cuántas paradas necesita hacer un ME con destino al infinito antes de hallarse por lo menos a dos unidades de distancia del origen? Ese número recibe el nombre de estadía de (a,b).

Cuando uno trata de calcular la estadía de (a,b) nunca sabemos del todo en qué momento detener el cómputo. El punto podría dar lugar a 100 o a 1000 paradas antes de decidirse a abandonar la escena definitivamente. Por otra parte, el punto podría muy bien pertenecer al conjunto, en cuyo caso, por mucho que se espere, el único color que estaría justificado utilizar para su píxel correspondiente sería el negro. En las cercanías de la frontera del conjunto se hallan los puntos que tienen estadías de valores muy altos. Para tales puntos pueden resultar necesarias un millón de iteraciones antes de que el ME alcance o rebase la distancia crítica de dos unidades desde el origen. Un programa pues habrá entonces de tomar una decisión más o menos arbitraria acerca de cuándo dejar de iterar la fórmula para un punto (a,b) dado. Límites muy bajos, de 100 e incluso 50 iteraciones, producen imágenes del conjunto hermosas y razonablemente exactas, a pesar de que algunos píxeles serán erróneamente coloreados de negro.

La asignación de distintos colores a un píxel se basa también en la estadía del punto correspondiente al píxel. El programador podría optar, por ejemplo, por colorear los píxeles, bien de negro, de violeta o de color "chartreuse", según los puntos correspondientes tengan una estadía de 100 o más, comprendida entre 50 y 99, o entre 49 y 1. Los colores e intervalos de estadía que podemos utilizar son completamente arbitrarios; empero, son elecciones que pueden dar figuras de una belleza que corta el aliento, o provocar un auténtico desastre estético. La mitad del trabajo del programador consiste en asignar colores a los puntos situados fuera del conjunto; la otra mitad estriba en hallar regiones interesantes del plano, para cartografiarlas. En realidad, cada una de estas tareas se halla influida por la otra, pues es la asignación de colores lo que hace visibles las regiones.
   
Explorando el Universo de Mandelbrot
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Galería de imágenes fractales de Mandelbrot
Aunque algunos algoritmos de coloración empleados en la generación de figuras fractales revisten cierto grado de complejidad, todos ellos invariablemente toman como punto de partida el sencillo algoritmo descrito en el presente artículo.
Las figuras 1, 2, 3 y 4 son fractales con efecto 3D o de relieve.
Las figuras 5, 6, 7 y 8 son fractales generados con un algoritmo de coloración
llamado "trampa orbital" (orbit traps).
(Todas las imágenes han sido creadas por el programa Mandelbrot Explorer)
Mandelbrot - Gallery - Fractal - Fractals
Para llenar toda una pantalla de la computadora de coloridos elementos y no elementos del Conjunto de Mandelbrot, es preciso asignar sistemáticamente un valor de a y de b a cada uno de los píxeles de la pantalla, seleccionados en un intervalo dado de valores para a y b. Lo cual podemos realizar mediante dos bucles. Uno de los bucles hace variar a desde desde uno a otro extremo de su posible gama de valores en 200 pasos iguales, pongamos por caso. El segundo bucle, que contiene al anterior, hace variar b en otros tantos pasos, desde un extremo de su intervalo al otro. El número de pasos correspondiente a cada bucle refleja el número de píxeles de que dispone nuestra pantalla en su dimensión horizontal (correspondiente a los valores de a) y en su dimensión vertical (para los valores de b).

Dado que cada imagen contiene solamente una muestra finita de puntos de una región particular del Conjunto de Mandelbrot, jamás podrá ofrecer con todo detalle lo que realmente acontece en ella. Pero tomando para a y b intervalos de variación más estrechos, podemos aumentar el grado de "ampliación". De hecho, el Conjunto de Mandelbrot ofrece una fina estructura de detalle a todos los grados de amplificación. Por este motivo, uno de los más populares juegos a que se entregan los entusiastas del Mandelbrot consiste en ampliar áreas del conjunto hasta agotar la capacidad de sus equipos, de la programación de que disponen o la propia paciencia.

La ampliación de una imagen particular se calcula como sigue. Supongamos computada una imagen de una región cuadrada del plano, cuyo lado tiene una longitud s. La ampliación de la imagen presentada será entonces de 1/s. Una imagen cuadrada que tenga, por ejemplo, 0.02 unidades de lado contará con una ampliación de 50 al ser proyectada en la pantalla.

No pocas veces se siente la tentación de subirse al ME y conmutar el control de automático a manual. Sería efectivamente una gran aventura poder guiarlo e ir subiendo por uno de los filamentos del conjunto, en un auténtico viaje de turismo. Así, lejos incluso del cuerpo principal, podremos descubrir copias en miniatura del conjunto, que dan la impresión de flotar aisladas en el plano. Según los matemáticos, el Conjunto de Mandelbrot entero es, en realidad, conexo, por lo que cabría guiar al ME hasta uno de los ejemplares de "mini-Mandelbrot". Pero la carretera que conduce a ellos no se parece en nada a nuestras carreteras. Al ampliar reiteradamente uno cualquiera de los filamentos que rodean al Conjunto de Mandelbrot, lo único que se encuentra es una serie de diminutas islitas negras, que dan la impresión de hallarse sueltas. A mayores, entre las islas más grandes vemos otras más pequeñas, pero raramente, si alguna, llega a presentársenos entre ellas una carretera continua.
(Recopilación de información: María E. Vera)
 
Descargas
Explorando el Universo de Mandelbrot

Programa "Mandelbrot Explorer v1.4"
Wilfredo Orozco

Este programa (para IBM-PC y compatibles) genera imágenes fractales, según la teoría del Conjunto de Mandelbrot.

Algunas de sus características son: funciones de centrado, zoom, interpolación, rutinas de coloración "orbit traps" y de efecto 3D, generación de fractales RGB (24 bits), sombreado por coseno y arco tangente, etc.

Se recomienda para una mejor visualización, una PC de +800 Mhz y +128 Mb RAM.

[Descargar programa, 900 Kb]

 
Mendoza, Argentina, 01 de Marzo de 2004.
 
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