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La Teoría de la Gravitación
Richard P. Feynman
Movimientos planetarios
n este artículo discutiremos una de las más amplias generalizaciones de la mente humana. Mientras admiramos la mente humana deberíamos tomar algún tiempo para venerar una naturaleza que pudo lograr en una forma tan acabada, y con tal generalidad, un principio tan elegantemente simple como la ley de la gravitación. ¿Qué es esta ley de la gravitación? Consiste en que todo objeto en el Universo atrae a todo otro objeto con una fuerza que para dos cuerpos cualesquiera es proporcional a la masa de cada uno y varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. Este enunciado puede expresarse matemáticamente por la siguiente ecuación:
Si a esto agregamos el hecho que un objeto responde a una fuerza acelerando en la dirección de la fuerza en una cantidad que es inversamente proporcional a la masa del objeto, habremos dicho todo lo necesario para que un matemático suficientemente talentoso pueda deducir entonces todas las consecuencias de estos dos principios. Sin embargo, puesto que no se supone todavía que ustedes sean suficientemente talentosos, discutiremos las consecuencias con más detalle y no los dejaremos meramente con estos dos principios escuetos. Relataremos brevemente la historia del descubrimiento de la ley de la gravitación y discutiremos algunas de sus consecuencias, sus efectos sobre la historia, los misterios que tal ley acarrea y algunos refinamientos de la ley hechos por Einstein; discutiremos también las relaciones de la ley con otras leyes de la física.

El cuento comienza con los antiguos observando el movimiento de los planetas entre las estrellas y deduciendo finalmente que ellos se movían alrededor del Sol, un hecho que más tarde fue redescubierto por Copérnico. Tomó un poco más de trabajo descubrir exactamente cómo los planetas se movían alrededor del sol y exactamente con qué movimiento. En los comienzos del siglo XV hubo grandes debates sobre si ellos realmente se movían alrededor del Sol o no. Tycho Brahe tuvo una idea que fue diferente de cualquiera de las propuestas por los antiguos: su idea fue que estos debates acerca de la naturaleza de los movimientos de los planetas se resolverían mejor si las reales posiciones de los planetas en el cielo se midieran con suficiente precisión. Si las medidas mostraran cómo se mueven exactamente los planetas, entonces tal vez sería posible establecer uno u otro punto de vista. Esta fue una idea tremenda -que para descubrir algo es mejor realizar algunos experimentos cuidadosos que continuar con profundos argumentos filosóficos-. Prosiguiendo con esta idea, Tycho Brahe estudió las posiciones de los planetas durante muchos años en su observatorio de la isla de Hven, cerca de Copenhague. Confeccionó voluminosas tablas, que fueron estudiadas por el matemático Kepler, después de la muerte de Tycho. Kepler descubrió a partir de los datos algunas leyes muy bellas y notables, pero simples, sobre el movimiento planetario.
Las Leyes de Kepler
En primer lugar, Kepler encontró que cada planeta se mueve alrededor del Sol en una curva llamada elipse, con el Sol en un foco de la elipse. Una elipse no es precisamente un óvalo, sino una curva muy específica y precisa que puede obtenerse usando dos tachuelas, una en cada foco, un lazo de cuerda y un lápiz; más matemáticamente es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. O, si lo prefieren, es un círculo achatado (Figura 1).
Las Leyes de Kepler
La segunda observación de Kepler fue que los planetas no se mueven alrededor del Sol con velocidad uniforme, sino que se mueven más rápido cuando están más cerca del Sol y más lentamente cuando están lejos del Sol, precisamente de esta manera: supongamos que se observa un planeta en dos tiempos sucesivos cualesquiera, digamos separados una semana, y que el radio vector* se dibuja hacia el planeta para cada posición observada. El arco orbital recorrido por el planeta durante una semana y los dos radios vectores limitan cierta área plana, el área sombreada que se muestra en la Figura 2. Si se hacen dos observaciones similares con una semana de separación, en una parte de la órbita más lejos del Sol (donde el planeta se mueve más lentamente), el área limitada en forma similar es exactamente la misma que en el primer caso. Así, de acuerdo con la segunda ley, la velocidad orbital de cada planeta es tal que el radio "barre" áreas iguales en tiempos iguales.

Finalmente, Kepler descubrió mucho más tarde una tercera ley; esta ley es de una categoría diferente de las otras dos, ya que trata no sólo con un planeta, sino que relaciona un planeta con otro. Esta ley dice que cuando se comparan el período orbital y el tamaño de la órbita de dos planetas cualesquiera, los períodos son proporcionales a la potencia 3/2 de los tamaños orbitales. En esta afirmación el período es el intervalo de tiempo que le lleva a un planeta completar su órbita y el tamaño se mide por la longitud del diámetro mayor de la órbita elíptica, conocido técnicamente como el eje mayor. Más sencillamente, si los planetas se movieran en círculos, como aproximadamente lo hacen, el tiempo requerido para moverse alrededor del círculo sería proporcional a la potencia 3/2 del diámetro (o el radio). Por lo tanto, las tres leyes de Kepler son:
Primera Ley: Cada planeta se mueve alrededor del Sol en una elipse, con el Sol en uno de los focos.
Segunda Ley: El radio vector desde el Sol al planeta barre áreas iguales en intervalos iguales de tiempo.
Tercera Ley: Los cuadrados de los períodos de dos planetas cualesquiera son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas: T ~ a3/2.
* Un radio vector es una línea dibujada desde el Sol a cualquier punto de la órbita de un planeta.
Desarrollo de la dinámica
Mientras Kepler descubría estas leyes, Galileo estaba estudiando las leyes del movimiento. El problema era, ¿qué hace que los planetas giren? (En esos días, una de las teorías propuestas era que los planetas giraban, porque detrás de ellos iban ángeles invisibles, batiendo sus alas e impulsando los planetas hacia adelante. ¡Ustedes verán que esta teoría está ahora modificada! Resulta que para mantener los planetas girando, los ángeles invisibles deben volar en una dirección diferente y que no tienen alas. Por lo demás, es una teoría bastante similar.) Galileo descubrió un hecho muy notable acerca del movimiento, que fue esencial en la comprensión de estas leyes. Este es el principio de inercia: si algo se mueve, sin que nada lo toque y sin perturbación alguna, se moverá eternamente, siguiendo a velocidad uniforme una línea recta. (¿Por qué se sigue moviendo? No lo sabemos, pero es así.)

Newton modificó esta idea, diciendo que el único modo de cambiar el movimiento de un cuerpo es usar una fuerza. Si un cuerpo aumenta su velocidad, una fuerza ha sido aplicada en la dirección del movimiento. Por otra parte, si su movimiento se cambia a una nueva dirección, una fuerza ha sido aplicada lateralmente. Así Newton agregó la idea que se necesita una fuerza para cambiar la velocidad o la dirección del movimiento de un cuerpo. Por ejemplo, si una piedra está amarrada a una cuerda y está girando en un círculo, se necesita una fuerza para mantenerla en el círculo. Tenemos que tirar de la cuerda. De hecho, la ley es que la aceleración producida por la fuerza es inversamente proporcional a la masa o que la fuerza es proporcional a la masa por la aceleración. Mientras más masiva es una cosa, mayor es la fuerza necesaria para producir una aceleración dada. (Las masas pueden medirse colocando otras piedras al extremo de la misma cuerda y haciéndolas girar en el mismo círculo y a la misma velocidad. De este modo se encuentra que se requiere una fuerza mayor o menor, requiriendo más fuerza los objetos más masivos.)

La brillante idea que resulta de estas consideraciones es que no se necesita fuerza tangencial para mantener un planeta en su órbita, (los ángeles no tienen que volar tangencialmente), porque el planeta seguiría en esa dirección de todos modos. Si no hubiera nada que lo perturbara, el planeta se iría en línea recta. Pero el movimiento real se desvía de la línea en que se habría movido el cuerpo si no hubiera fuerza, siendo la desviación esencialmente en ángulos rectos al movimiento, no en la dirección del movimiento. En otras palabras, debido al principio de inercia, la fuerza necesaria para controlar el movimiento de un planeta alrededor del Sol no es la fuerza alrededor del Sol sino hacia el Sol. (¡Si hay una fuerza hacia el Sol, éste podría ser el ángel, por supuesto!)
Ley de la gravitación de Newton
A partir de su mejor comprensión de la teoría del movimiento, Newton estimó que el Sol podría ser el asiento o el organismo de las fuerzas que gobiernan el movimiento de los planetas. Newton probó para sí mismo (tal vez nosotros seamos pronto capaces de probarlo) que el hecho mismo que áreas iguales sean barridas en tiempos iguales es una indicación precisa de la proposición de que todas las desviaciones son justamente radiales -que la ley de las áreas es una consecuencia directa de la idea que todas las fuerzas están exactamente dirigidas hacia el Sol.

A continuación, al analizar la tercera ley de Kepler es posible demostrar que mientras más lejos esté el planeta, más débiles son las fuerzas. Si se comparan dos planetas a diferentes distancias del Sol, el análisis muestra que las fuerzas son inversamente proporcionales a los cuadrados de sus respectivas distancias. Con la combinación de las dos leyes, Newton concluyó que debe haber una fuerza, inversa al cuadrado de la distancia, dirigida en una línea entre los dos objetos.

Siendo un hombre de considerable sentido para las generalizaciones, Newton supuso, por supuesto, que esta relación se aplica más generalmente que sólo al Sol sujetando los planetas. Ya se sabía, por ejemplo, que el planeta Júpiter tenía lunas girando en torno a él tal como la luna de la Tierra gira en torno a la Tierra y Newton se sintió seguro de que cada planeta sostiene sus lunas mediante una fuerza. Él conocía ya la fuerza que nos mantiene sobre la tierra, de modo que propuso que era una fuerza universal -que cada cosa atrae a las demás.

El problema siguiente fue si la atracción de la Tierra sobre las personas era la misma que sobre la Luna, es decir, inversa al cuadrado de la distancia. Si un objeto sobre la superficie de la Tierra cae cinco metros en el primer segundo después que se suelte, ¿qué distancia caerá la Luna durante el mismo tiempo? Podríamos decir que la Luna no cae en absoluto. Pero si no hubiera fuerza sobre la Luna, se escaparía en línea recta, mientras que en cambio se mueve en un círculo, de modo que realmente cae desde donde habría estado si no hubiera habido fuerza alguna. Podemos calcular a partir del radio de la órbita de la Luna (que es aproximadamente 384.000 kilómetros) y de cuánto tarda en ir alrededor de la Tierra (aproximadamente 29 días), cuánto se mueve la Luna sobre su órbita en un segundo y podemos calcular entonces cuánto cae en un segundo*. Esta distancia resulta ser aproximadamente 1,3 mm en un segundo. Esto se ajusta muy bien con la ley de la inversa del cuadrado, porque el radio de la Tierra es 6.400 kilómetros, y si algo que está a 6.400 kilómetros del centro de la Tierra cae cinco metros en un segundo, algo a 384.000 kilómetros, o 60 veces más lejos, caería 1/3600 de cinco metros, lo que también es aproximadamente 1,3 mm. Deseando poner a prueba esta teoría de la gravitación mediante cálculos similares, Newton hizo sus cálculos muy cuidadosamente y encontró una discrepancia tan grande que consideró la teoría en contradicción con los hechos y no publicó sus resultados. Seis años después las nuevas medidas del tamaño de la Tierra mostraron que los astrónomos habían estado usando una distancia a la Luna incorrecta. Cuando Newton oyó acerca de esto, hizo sus cálculos de nuevo, con las cifras correctas y obtuvo una hermosa concordancia.
Experimento
Figura 3: Aparato para demostrar la independencia de movimientos verticales y horizontales.
Esta idea de que la Luna "cae" es algo confusa, porque, como ven, no se acerca en absoluto. La idea es lo suficientemente interesante para merecer más explicación: la Luna cae en el sentido que cae desde la línea que habría seguido si no hubiera fuerzas. Consideremos un ejemplo en la superficie de la Tierra. Un objeto que se suelta cerca de la superficie de la Tierra caerá cinco metros en el primer segundo. Un objeto lanzado horizontalmente también caerá cinco metros; aun cuando se esté moviendo horizontalmente todavía caerá los cinco metros en el mismo tiempo. La Figura 3 ilustra un aparato que demuestra esto. En la pista horizontal hay una bola que será impelida hacia adelante en una pequeña distancia. A la misma altura hay una bola que va a caer verticalmente y hay un interruptor eléctrico arreglado de modo que en el momento que la primera bola deja la pista, se suelta la segunda bola. Que ellas llegan a la misma profundidad en el mismo tiempo está atestiguado por el hecho de que chocan en medio del aire. Un objeto como una bala, lanzado horizontalmente, puede moverse un camino largo en un segundo -tal vez 700 metros- pero siempre caerá cinco metros si es apuntado horizontalmente. ¿Qué ocurre si lanzamos una bala más y más rápido? No olviden que la superficie de la Tierra es curva. Si la disparamos lo suficientemente rápido, entonces cuando caiga cinco metros puede estar a la misma altura sobre la Tierra que lo que estuvo antes. ¿Cómo puede ser esto? Siempre cae, pero la Tierra se encurva, así que cae "alrededor" de la Tierra. El problema es: ¿qué distancia tiene que moverse en un segundo para que la Tierra esté cinco metros bajo el horizonte? En la
Figura 4 vemos la Tierra con su radio de 6.400 kilómetros y la trayectoria tangencial rectilínea que la bala tomaría si no hubiera fuerzas. Ahora, si usamos uno de esos maravillosos teoremas de la geometría, que dice que nuestra tangente es la media geométrica de las dos partes del diámetro cortado por una cuerda igual, vemos que la distancia horizontal viajada es la media geométrica de los cinco metros caídos y los 12.800 kilómetros de diámetro de la Tierra. La raíz cuadrada de (5/1.000) x 12.800 resulta muy cercana a ocho kilómetros. Vemos así que si la bala se mueve a ocho kilómetros por segundo, continuará cayendo hacia la Tierra en la misma razón de cinco metros cada segundo, pero nunca logrará acercarse, porque la Tierra al encurvarse se aleja. Así fue como el Sr. Gagarin se mantuvo en el espacio viajando 40.000 kilómetros alrededor de la Tierra a ocho kilómetros por segundo aproximadamente. (Él demoró un poco más, porque estaba un poco más alto.)
Aceleración hacia el centro de una trayectoria circular

Figura 4: Aceleración hacia el centro de una trayectoria circular. De la geometría plana,

x/s = (2R-S)/x ~ 2R/x

Donde R es el radio de la Tierra, 6400 Km; x es la distancia "recorrida horizontalmente" en un segundo; y S es la distancia "caída" en un segundo (5 metros).

Cualquier gran descubrimiento de una nueva ley es útil sólo si podemos sacar más de él que lo que ponemos. Pues bien, Newton usó la segunda y la tercera de las leyes de Kepler para deducir su ley de la gravitación. ¿Qué predijo? Primero, su análisis del movimiento de la Luna fue una predicción, porque relacionaba la caída de los objetos sobre la superficie de la Tierra con la caída de la Luna. Segundo, la pregunta es: ¿es la órbita una elipse? Es posible calcular exactamente el movimiento y, en efecto, uno puede probar que debe ser una elipse, de modo que no se necesitan hechos adicionales para explicar la primera ley de Kepler. Así Newton hizo su primera y poderosa predicción.

La ley de la gravitación explica muchos fenómenos no comprendidos anteriormente. Por ejemplo, la atracción de la Luna sobre la Tierra causa las mareas, hasta entonces misteriosas. La Luna atrae al agua que está por debajo de ella y produce las mareas -la gente había pensado en eso antes, pero no fueron tan inteligentes como Newton y así pensaron que debiera haber sólo una marea durante el día-. El razonamiento era que la Luna atrae al agua por debajo de ella, produciendo una marea alta y una marea baja y, como la Tierra está rotando debajo, esto hace que la marea en un lugar suba y baje cada 24 horas. Realmente la marea sube y baja en 12 horas. Otra escuela de pensamiento afirmaba que la marea alta debería estar en el otro lado de la Tierra porque, según ellos, ¡la Luna tiraba la Tierra fuera del agua! Ambas teorías son erróneas. Realmente ocurre de este modo: la atracción de la Luna sobre la Tierra y sobre el agua está "equilibrada" en el centro. Pero el agua que está más cerca de la Luna es atraída más que el promedio y el agua que está más lejos de ella es atraída menos que el promedio. Más aún, el agua puede fluir mientras que la Tierra, que es más rígida, no puede. La verdadera descripción es una combinación de estas dos cosas.
El sistema Tierra-Luna, con mareas
Figura 5: El sistema Tierra-Luna, con mareas.
¿Qué queremos decir por "equilibrada"? ¿Qué equilibra? Si la Luna atrae toda la Tierra hacia ella, ¿por qué la Tierra no se precipita "hacia" la Luna? Porque la Tierra hace el mismo truco que la Luna, se mueve en un círculo alrededor de un punto que está dentro de la Tierra, pero no en su centro. La Luna no gira precisamente alrededor de la Tierra: tanto la Tierra como la Luna giran en torno a una posición central, cayendo ambas hacia esta posición común, como se muestra en la Figura 5. Este movimiento alrededor de un centro común es lo que equilibra la caída de cada una. De modo que tampoco la Tierra se mueve en una línea recta; viaja en un círculo. El agua en la parte más alejada está "desequilibrada", porque la atracción de la Luna allí es más débil que en el centro de la Tierra, donde equilibra justamente la "fuerza centrífuga". El resultado de este desequilibrio es que el agua sube alejándose del centro de la Tierra. En el lado cercano, la atracción de la Luna es más fuerte y el desequilibrio está en dirección opuesta en el espacio, pero de nuevo alejándose del centro de la Tierra. El resultado neto es que tenemos dos subidas de marea.
* Es decir, en cuánto cae el círculo de la órbita lunar por debajo de la línea recta tangente a ésta en el punto en que estaba la Luna un segundo antes.
Gravitación universal
¿Qué más podemos comprender al comprender la gravedad? Todos saben que la Tierra es redonda. ¿Por qué es redonda la Tierra? Esto es fácil: debido a la gravitación. ¡Puede comprenderse que la Tierra sea redonda simplemente porque cada cosa atrae a cada cosa y así se ha atraído juntándose a sí misma lo más que ha podido! Si vamos aún más lejos, la Tierra no es exactamente una esfera porque está rotando y esto introduce efectos centrífugos que tienden a oponerse a la gravedad cerca del ecuador. Resulta que la Tierra debería ser elíptica, y nosotros incluso obtenemos la forma correcta para la elipse. Podemos así deducir que el Sol, la Luna, y la Tierra deberían ser (aproximadamente) esferas, justamente a partir de la ley de la gravitación.

¿Qué más pueden hacer con la ley de la gravitación? Si miramos las lunas de Júpiter podemos entender todo acerca del modo en que se mueven alrededor del planeta. A propósito, hubo una vez cierta dificultad con las lunas de Júpiter que es digno hacer notar. Estos satélites fueron estudiados con mucho cuidado por Roemer, quien notó que a veces las lunas parecían estar adelantadas respecto de su horario, y a veces atrasadas. (Se pueden encontrar sus horarios esperando un tiempo muy largo y encontrando lo que demoran en promedio las lunas en girar.) Pues bien, ellas se adelantaban cuando Júpiter estaba particularmente cerca de la Tierra y se atrasaban cuando Júpiter estaba más lejos de la Tierra. Esto habría sido algo muy difícil de explicar con la teoría de la gravitación -habría sido, de hecho, la muerte de esta maravillosa teoría, si no hubiera otra explicación-. Si una ley no funciona siquiera en un lugar donde debiera hacerlo, está simplemente equivocada. Pero la razón de esta discrepancia era muy simple y hermosa: requiere un pequeño instante ver las lunas de Júpiter debido al tiempo que demora la luz en viajar de Júpiter a la Tierra. Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra, el tiempo es un poco menor, y cuando está más lejos de la Tierra, el tiempo es mayor. Esta es la razón por la que las lunas parecen estar, en promedio, un poco adelantadas o un poco atrasadas, según si están más cerca o más lejos de la Tierra. Este fenómeno demostró que la luz no viaja instantáneamente, y proporcionó el primer cálculo de la velocidad de la luz. Esto fue hecho en 1656.
 
 
 
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